собственные моды оптоволокна (любителям «матана») / Geektimes

Решить уравнения Максвелла с условиями:

— оптоволокно состоит из сердцевины радиуса

$$ с диэлектрической проницаемостью

$$ и оболочки бесконечного внешнего радиуса с диэлектрической проницаемостью

$$,

— поле периодично по

$$, пространственная частота всех компонент поля едина:

$$,

— компоненты поля на оси

$$ — без особенностей,

— компоненты поля при

$$ интегрируемы с квадратом,

— тангенциальные компоненты поля на поверхности цилиндра

$$ — непрерывны:

Подставив в уравнения Максвелла периодическую зависимость по

$$:

получаются уравнения на

$$-компоненты поля:

При этом остальные компоненты выражаются через

$$-компоненты по закону:

где

$$ — единичный вектор вдоль оси

$$,

$$,

$$.

Уравнения на

$$ имеют один вид, решения одинаковы, поэтому естественно переобозначение искомой функции:

В полярных координатах уравнение имеет вид:

Подстановкой в уравнение зависимости

$$ переменные разделяются:

Обозначив константу равенства символом

$$ выписываются обе части равенства:

$\$\$display\$\$-\; frac\{1\}\{v(varphi)\}frac\{partial^2\; \}\{partial\; varphi^2\}v(varphi)\; =\; nu^2,\$\$display\$\$$

Первое уравнение имеет решения:

$$.

Из периодического граничного условия

$$, следует, что

$$ — целое:

Второе уравнение сводится либо к уравнению Бесселя, либо к модифицированному уравнению Бесселя:

1. Уравнение Бесселя:

2. Модифицированное уравнение Бесселя:

Уравнению Бесселя удовлетворяют функции Бесселя

$$ и функции Неймана

$$. Модифицированному уравнению Бесселя удовлетворяют функции Инфельда

$$ и функции Макдональда

$$.

В силу граничных условий: при

$$ — функция без особенностей, при

$$ — функция интегрируема с квадратом, при

$$ — тангенциальные компоненты поля непрерывны, — в качестве решения предлагается следующая комбинация: при

$$ — функция Бесселя

$$, при

$$.

Из предложенной комбинации следует, что сердцевина должна быть более оптически плотной, чем оболочка,

$$ компоненты

$$ записываются в виде:

$$ (может принимать отрицательные значения), потому в индексах функций присутствует знак модуля (в уравнении Бесселя имеет место

$$, знак индекса предполагается неотрицательный). Далее знак модуля в индексах функций опускается, но подразумевается.

Кроме того, введен индекс для магнитной проницаемости:

$$ — в сердцевине,

$$ — в оболочке.

Используя закон

находятся компоненты

$$, имея при этом в виду, что

$$.
Компоненты подставляются в граничное условие непрерывности тангенциальных компонент:

Получается система линейных уравнений, суть соотношения на константы

$$, которая имеет вид:

Для существования нетривиального решения системы линейных уравнений, определитель матрицы должен равняться нулю:

В этой записи нулевого детерминанта использованы обозначения:

$$
$$ и соотношения:

$$, которые следуют из введенных ранее определений:

$$.

Величины

$$ — связаны еще одним равенством, следующим из двух последних определений и утверждения, что

$$ — едина для всех компонент:

Для нахождения

$$ из системы уравнений:

необходимо задать:

$$.

Связь

$$ и

$$ первым уравнением представляет собой серию линий на плоскости (граница раздела между синим и красным цветами, см. рис. ниже). Характер линий зависит от

$$.

Связь

$$ и

$$ вторым уравнением представляет собой окружность с радиусом, линейно зависящим от

$$. Точки пересечения линий являются решениями системы уравнений.

Набор решений составляет конечное число пар чисел

$$. Каждой такой паре чисел соответствует конфигурация электромагнитного поля, называемой «собственной модой».

Моду оптоволокна принято обозначать следующим образом: две буквы (

$$) — на первом месте буква с наибольшей

$$-компонентой и два индекса: на первом месте

$$, на втором номер ветви (на рисунке обозначена синим цветом).

Примеры обозначения:

$$ говорит о том, что

$$ больше, чем

$$,

$$, выбрана пара (см.рис. выше)

$$,

$$ говорит о том, что

$$ больше, чем

$$,

$$, выбрана пара (см.рис. выше)

$$ (третья синяя ветвь).

Подготовительные вычисления:

01. Задать

$$;

02. Найти наборы

$$, выбрать один, (п.9);

03. Вычислить

$$, (п.8);

04. Вычислить

$$, (п.7).

Выражения в цилиндрических координатах компонент поля:

$$:

При

Далее

При этом замыкающие соотношения стандартные:

$$(индексы указывают на соответствующие среды).

Выражение поля в декартовой системе координат через цилиндрические для электрических компонент:

Для магнитных компонент матрица та же.

Выбирая

$$ можно добиться единственности решения:

Такое оптоволокно называется одномодовым. Однако следует заметить, что «одномодовость» зависит от частоты — более высокие частоты распространяются в «одномодовом» волокне в виде набора мод.

Иногда говорят о сохранении поляризации в оптоволокне, имея в виду перпендикулярные компоненты поля моды

$$: векторы компонент поля в плоскости практически соправлены. Однако, общая картина вращается во времени (см. видео ниже), — о сохранении поляризации в таком оптоволокне говорить не приходится.

Для интереса ниже показана эволюция в течении временного периода моды

и моды