“. Но я нигде не нашел
. Ну и «сделал сам», раз не нашел, и
. Так что, скорее всего, нигде больше вы такого не встретите — уникальнейшая вещь! В книжках это не пишут, потому что оно длинное — обычно пишут самое простое, а про общий случай упоминают вскользь. Ну вот он, общий случай, под катом.
![](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSI4MzciIGhlaWdodD0iNzA1IiB2aWV3Qm94PSIwIDAgODM3IDcwNSI+PHJlY3Qgd2lkdGg9IjEwMCUiIGhlaWdodD0iMTAwJSIgc3R5bGU9ImZpbGw6I2NmZDRkYjtmaWxsLW9wYWNpdHk6IDAuMTsiLz48L3N2Zz4=)
Решить уравнения Максвелла с условиями:
— оптоволокно состоит из сердцевины радиуса
с диэлектрической проницаемостью
и оболочки бесконечного внешнего радиуса с диэлектрической проницаемостью
,
— поле периодично по
, пространственная частота всех компонент поля едина:
,
— компоненты поля на оси
— без особенностей,
— компоненты поля при
интегрируемы с квадратом,
— тангенциальные компоненты поля на поверхности цилиндра
— непрерывны:
![$E_{z,1}bigg|_{r=a}=E_{z,2}bigg|_{r=a},$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
![$E_{varphi,1}bigg|_{r=a}=E_{varphi,2}bigg|_{r=a},$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
![$H_{z,1}bigg|_{r=a}=H_{z,2}bigg|_{r=a},$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
![$H_{varphi,1}bigg|_{r=a}=H_{varphi,2}bigg|_{r=a}$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
Подставив в уравнения Максвелла периодическую зависимость по
:
![$textbf{E}(x,y,z,t) = left( begin{array}{c} e_x(x,y)\ e_y(x,y)\ e_z(x,y) end{array} right) expleftlbrace ik_zz - iomega t rightrbrace, quad textbf{B}(x,y,z,t) = left( begin{array}{c} b_x(x,y)\ b_y(x,y)\ b_z(x,y) end{array} right) expleftlbrace ik_zz - iomega t rightrbrace,$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
получаются уравнения на
-компоненты поля:
![$Delta_{bot}e_z + gamma^2e_z=0,,Delta_{bot}b_z + gamma^2b_z=0,,text{где }Delta_{bot}=frac{partial^2}{partial x^2}+frac{partial^2}{partial y^2},quad gamma^2 = varepsilonmufrac{omega^2}{c^2}-k^2_z.$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
При этом остальные компоненты выражаются через
-компоненты по закону:
![$textbf{b}_{bot} = frac{i}{gamma^2}leftlbrace k_z operatorname{grad}_{bot}b_z + varepsilonmufrac{omega}{c}left[ hat{textbf{z}}timesoperatorname{grad}_{bot}e_zright] rightrbrace, , textbf{e}_{bot} = frac{i}{gamma^2}leftlbrace k_z operatorname{grad}_{bot}e_z - frac{omega}{c}left[ hat{textbf{z}}timesoperatorname{grad}_{bot}b_zright] rightrbrace,$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
где
— единичный вектор вдоль оси
,
,
.
Уравнения на
имеют один вид, решения одинаковы, поэтому естественно переобозначение искомой функции:
![$Delta_{bot}psi + gamma^2psi=0.$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
В полярных координатах уравнение имеет вид:
![$r^2frac{partial^2}{partial r^2}psi + rfrac{partial}{partial r}psi + frac{partial^2 }{partial varphi^2}psi + r^2left( frac{varepsilonmu}{c^2}omega^2 - k_z^2 right) psi = 0.$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
Подстановкой в уравнение зависимости
переменные разделяются:
![$frac{1}{u(r)}r^2frac{partial^2}{partial r^2}u(r) + frac{1}{u(r)}rfrac{partial}{partial r}u(r) + r^2left( frac{varepsilonmu}{c^2}omega^2 - k_z^2 right) = - frac{1}{v(varphi)}frac{partial^2 }{partial varphi^2}v(varphi).$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
Обозначив константу равенства символом
выписываются обе части равенства:
![$frac{1}{u(r)}r^2frac{partial^2}{partial r^2}u(r) + frac{1}{u(r)}rfrac{partial}{partial r}u(r) + r^2left( frac{varepsilonmu}{c^2}omega^2 - k_z^2 right) = nu^2.$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
Первое уравнение имеет решения:
.
Из периодического граничного условия
, следует, что
— целое:
![$expleftlbrace inu varphi rightrbrace=expleftlbrace inu (varphi+2pi) rightrbracerightarrow 1=expleftlbrace inu2pi rightrbrace = cos(2pinu)+ isin(2pinu) Rightarrow$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
![$Rightarrowcos(2pinu)=1, sin(2pinu)=0 Rightarrow nu =ldots -2,-1,0,1,2ldots$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
Второе уравнение сводится либо к уравнению Бесселя, либо к модифицированному уравнению Бесселя:
1. Уравнение Бесселя:
![$rho_1^2frac{d^2u}{drho_1^2} + rho_1frac{du}{drho_1} + (rho_1^2 - nu^2)u = 0,text{ при }rho_1 = r sqrt{ frac{varepsilon_1mu}{c^2}omega^2 - k_z^2 },$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
2. Модифицированное уравнение Бесселя:
![$rho_2^2frac{d^2u}{drho_2^2} + rho_2frac{du}{drho_2} - (rho_2^2 + nu^2)u = 0,text{ при }rho_2 = r sqrt{ k_z^2 - frac{varepsilon_2mu}{c^2}omega^2 }.$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
Уравнению Бесселя удовлетворяют функции Бесселя
и функции Неймана
. Модифицированному уравнению Бесселя удовлетворяют функции Инфельда
и функции Макдональда
.
В силу граничных условий: при
— функция без особенностей, при
— функция интегрируема с квадратом, при
— тангенциальные компоненты поля непрерывны, — в качестве решения предлагается следующая комбинация: при
— функция Бесселя
, при
.
Из предложенной комбинации следует, что сердцевина должна быть более оптически плотной, чем оболочка,
компоненты
записываются в виде:
![$e_{z,1} = A_eJ_{|nu|}(gamma r)expleftlbrace inu varphi rightrbrace,text{ при }r<a,$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
![$e_{z,2} = B_eK_{|nu|}(kappa r)expleftlbrace inu varphi rightrbrace,text{ при }r>a,$” data-tex=”display”></p><p><math></math><img data-lazyloaded=](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
(может принимать отрицательные значения), потому в индексах функций присутствует знак модуля (в уравнении Бесселя имеет место
, знак индекса предполагается неотрицательный). Далее знак модуля в индексах функций опускается, но подразумевается.
Кроме того, введен индекс для магнитной проницаемости:
— в сердцевине,
— в оболочке.
Используя закон
![$textbf{b}_{bot} = frac{i}{gamma^2}leftlbrace k_z operatorname{grad}_{bot}b_z + varepsilonmufrac{omega}{c}left[ hat{textbf{z}}timesoperatorname{grad}_{bot}e_zright] rightrbrace, , textbf{e}_{bot} = frac{i}{gamma^2}leftlbrace k_z operatorname{grad}_{bot}e_z - frac{omega}{c}left[ hat{textbf{z}}timesoperatorname{grad}_{bot}b_zright] rightrbrace,$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
находятся компоненты
, имея при этом в виду, что
.
Компоненты подставляются в граничное условие непрерывности тангенциальных компонент:
![$e_{z,1}bigg|_{r=a}=e_{z,2}bigg|_{r=a},$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
![$e_{varphi,1}bigg|_{r=a}=e_{varphi,2}bigg|_{r=a},$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
![$h_{z,1}bigg|_{r=a}=h_{z,2}bigg|_{r=a},$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
![$h_{varphi,1}bigg|_{r=a}=h_{varphi,2}bigg|_{r=a}.$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
Получается система линейных уравнений, суть соотношения на константы
, которая имеет вид:
![$left( begin{array}{cccc} J_{nu}(gamma a) & -K_{nu}(kappa a) & 0 & 0 \ 0 & 0 & frac{1}{mu_1}J_{nu}(gamma a) & -frac{1}{mu_2}K_{nu}(kappa a) \ frac{nu k_z}{agamma^2} J_{nu}(gamma a) & frac{nu k_z}{akappa^2} K_{nu}(kappa a) & frac{i}{gamma^2}frac{omega}{c}gamma J^{prime}_{nu}(gamma a) & frac{i}{kappa^2} frac{omega}{c} kappa K^{prime}_{nu}(kappa a) \ ifrac{varepsilonmu}{gamma^2mu_1}frac{omega}{c}gamma J^{prime}_{nu}(gamma a) & frac{i}{mu_2kappa^2}varepsilonmufrac{omega}{c}kappa K^{prime}_{nu}(kappa a) & -frac{k_z nu}{agamma^2 mu_1} J_{nu}(gamma a) & - frac{nu k_z}{mu_2akappa^2}K_{nu}(kappa a) end{array} right) left( begin{array}{c} A_e\ B_e\ A_b\ B_b end{array} right) = 0,$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
Для существования нетривиального решения системы линейных уравнений, определитель матрицы должен равняться нулю:
![$left( frac{varepsilon_1mu_1}{x^2}+frac{varepsilon_2mu_2}{y^2}right) left( frac{1}{x^2} + frac{1}{y^2}right)nu^2 = left[ mu_2 g(y)+mu_1 f(x)right] left[ varepsilon_2g(y) + varepsilon_1 f(x)right] .$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
В этой записи нулевого детерминанта использованы обозначения:
![$f(x) = frac{J^{prime}_{nu}(x)}{xJ_{nu}(x)}, , g(y) = frac{K^{prime}_{nu}(y)}{yK_{nu}(y)},$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
и соотношения:
, которые следуют из введенных ранее определений:
.
Величины
— связаны еще одним равенством, следующим из двух последних определений и утверждения, что
— едина для всех компонент:
![$x^2+y^2 = (varepsilon_1mu_1 - varepsilon_2mu_2)a^2frac{omega^2}{c^2}.$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
Для нахождения
из системы уравнений:
![$left( frac{varepsilon_1mu_1}{x^2}+frac{varepsilon_2mu_2}{y^2}right) left( frac{1}{x^2} + frac{1}{y^2}right)nu^2 = left[ mu_2 g(y)+mu_1 f(x)right] left[ varepsilon_2g(y) + varepsilon_1 f(x)right],$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
![$x^2+y^2 = (varepsilon_1mu_1 - varepsilon_2mu_2)a^2frac{omega^2}{c^2},$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
необходимо задать:
.
Связь
и
первым уравнением представляет собой серию линий на плоскости (граница раздела между синим и красным цветами, см. рис. ниже). Характер линий зависит от
.
Связь
и
вторым уравнением представляет собой окружность с радиусом, линейно зависящим от
. Точки пересечения линий являются решениями системы уравнений.
![](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSI2ODQiIGhlaWdodD0iNTIyIiB2aWV3Qm94PSIwIDAgNjg0IDUyMiI+PHJlY3Qgd2lkdGg9IjEwMCUiIGhlaWdodD0iMTAwJSIgc3R5bGU9ImZpbGw6I2NmZDRkYjtmaWxsLW9wYWNpdHk6IDAuMTsiLz48L3N2Zz4=)
Набор решений составляет конечное число пар чисел
. Каждой такой паре чисел соответствует конфигурация электромагнитного поля, называемой «собственной модой».
Моду оптоволокна принято обозначать следующим образом: две буквы (
) — на первом месте буква с наибольшей
-компонентой и два индекса: на первом месте
, на втором номер ветви (на рисунке обозначена синим цветом).
Примеры обозначения:
говорит о том, что
больше, чем
,
, выбрана пара (см.рис. выше)
,
говорит о том, что
больше, чем
,
, выбрана пара (см.рис. выше)
(третья синяя ветвь).
Подготовительные вычисления:
01. Задать
;
02. Найти наборы
, выбрать один, (п.9);
03. Вычислить
, (п.8);
04. Вычислить
, (п.7).
Выражения в цилиндрических координатах компонент поля:
![$e_z = A_eJ_{nu}(gamma r)expleftlbrace inu varphi rightrbrace,text{ при }r<a, $](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
![$e_z = B_eK_{nu}(kappa r)expleftlbrace inu varphi rightrbrace,text{ при }r>a, $” data-tex=”display”></p><p><math></math><img data-lazyloaded=](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
:
![$left( begin{array}{c} b_r\ b_{varphi} end{array} right) = frac{i}{gamma^2}leftlbrace k_z left( begin{array}{c} A_b gamma J^{prime}_{nu}(gamma r) \ frac{1}{r} i nu A_b J_{nu}(gamma r) end{array} right) + varepsilonmufrac{omega}{c} left( begin{array}{c} -frac{1}{r} inu A_e J_{nu}(gamma r)\ A_e gamma J^{prime}_{nu}(gamma r) end{array} right) rightrbrace exp(inu varphi) ,$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
![$left( begin{array}{c} e_r\ e_{varphi} end{array} right) = frac{i}{gamma^2}leftlbrace k_z left( begin{array}{c} A_e gamma J^{prime}_{nu}(gamma r)\ frac{1}{r} inu A_e J_{nu}(gamma r) end{array} right) - frac{omega}{c} left( begin{array}{c} -frac{1}{r}A_b inu J_{nu}(gamma r)\ A_b gamma J^{prime}_{nu}(gamma r) end{array} right) rightrbrace exp(inu varphi).$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
При
![$r > a$” data-tex=”inline”>:</p><p><math></math><img data-lazyloaded=](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
![$left( begin{array}{c} e_r\ e_{varphi} end{array} right) = -frac{i}{kappa^2}leftlbrace k_z left( begin{array}{c} B_e kappa K^{prime}_{nu}(kappa r)\ frac{1}{r} inu B_e K_{nu}(kappa r) end{array} right) - frac{omega}{c} left( begin{array}{c} -frac{1}{r}B_b inu K_{nu}(kappa r)\ B_b kappa K^{prime}_{nu}(kappa r) end{array} right) rightrbrace exp(inu varphi).$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
Далее
![$textbf{E}(x,y,z,t) = left( begin{array}{c} e_r(x,y)\ e_{varphi}(x,y)\ e_z(x,y) end{array} right) expleftlbrace ik_zz - iomega t rightrbrace, quad textbf{B}(x,y,z,t) = left( begin{array}{c} b_r(x,y)\ b_{varphi}(x,y)\ b_z(x,y) end{array} right) expleftlbrace ik_zz - iomega t rightrbrace.$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
При этом замыкающие соотношения стандартные:
(индексы указывают на соответствующие среды).
Выражение поля в декартовой системе координат через цилиндрические для электрических компонент:
![$left( begin{array}{c} E_x\ E_y\ E_z end{array} right) = left( begin{array}{ccc} cosvarphi & -sinvarphi & 0\ sinvarphi & cosvarphi & 0\ 0 & 0 & 1 end{array} right) left( begin{array}{c} E_r\ E_{varphi}\ E_z end{array} right).$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
Для магнитных компонент матрица та же.
Выбирая
можно добиться единственности решения:
![](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSIxMDM2IiBoZWlnaHQ9IjY5MiIgdmlld0JveD0iMCAwIDEwMzYgNjkyIj48cmVjdCB3aWR0aD0iMTAwJSIgaGVpZ2h0PSIxMDAlIiBzdHlsZT0iZmlsbDojY2ZkNGRiO2ZpbGwtb3BhY2l0eTogMC4xOyIvPjwvc3ZnPg==)
Такое оптоволокно называется одномодовым. Однако следует заметить, что «одномодовость» зависит от частоты — более высокие частоты распространяются в «одномодовом» волокне в виде набора мод.
Иногда говорят о сохранении поляризации в оптоволокне, имея в виду перпендикулярные компоненты поля моды
: векторы компонент поля в плоскости практически соправлены. Однако, общая картина вращается во времени (см. видео ниже), — о сохранении поляризации в таком оптоволокне говорить не приходится.
Для интереса ниже показана эволюция в течении временного периода моды
![$HE_{11}$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)
и моды
![$HE_{31}$](data:image/gif;base64,R0lGODdhAQABAPAAAMPDwwAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)